微分センターmなし.mws

　微分　高校2年レベル

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微分の意味

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　微分のイメージは次のアニメーションで示されます

　右の点が、左方向へ移動し、左の点に重なる瞬間にできる直線のことを接線といいます

　この接線の傾きを見つけることを、微分するといいます

[Maple Plot]

　では、この接線の傾きを求めてみましょう

　赤い曲線を　 y = f(x)   とし、左の点の座標を（ x 、 f(x)  ) とします

　「左の点」から、ｘ座標が　ｈ　だけ大きい点を「右の点」とします

　すると、右の点の座標は　( x+h   ,  f(x+h) ) となります

　ここで、この2点を結ぶ直線の傾きを求めると

　   (f(x+h)-f(x))/(x+h-x)       となります

　　「右の点」が「左の点」に限りなく近づくことは、 ｈが限りなくゼロに近づくことを意味 していますので、

　　接線傾きは　 limit((f(x+h)-f(x))/h,h = 0)     となります。このことが微分の定義です

極限の計算

　 limit({2*x+3},x = 1)       の意味は、「ｌｉｍ　の右にある式   2*x+3  において、ｘの値を限りなく１にしなさい」　という意味です  

　したがって、 limit(2*x+3,x = 1)  = ２×１＋３　= ５　　となります

 

極限の計算問題

次の計算をしなさい

  1)   limit({3*x+2},x = 1)

  2)   limit({x^2+x-3},x = -1)

  3)   limit((x^2-1)/(x-1),x = 1)    

  4)    limit((x+a)/(x^3+a^3),x = -a)    ( a <> 0  とする)　　　

　5)   d/dx*f(x) = limit((f(x+h)-f(x))/h,h = 0)     、     d/dx*g(x) = limit((g(x+h)-g(x))/h,h = 0)   　で

　　　あるとき、  

　　　　　　イ）　   d/dx*k*f(x) 　

　　　　　　ロ）     d/dx*(f(x)+g(x))   

     を　 d/dx*f(x)  、   d/dx*g(x)   で表せ

      

解答

  1)  5              

  2)  -3

  3)  そのまま　ｘ＝１　を代入すると　 0/0   となり、値が求まりません。

　　　このような場合は、式の変形をして値を求めます。

　　　 limit((x^2-1)/(x-1),x = 1) = limit((x-1)*(x+1)/(x-1),x = 1)  = limit({x+1},x = 1)  =2

　4)   limit((x+a)/(x^2-a*x+a^2),x = -a) = limit(1/(x^2-a*x+a^2),x = -a)   = 1/(3*a^2)    

　５）　　イ）　 k*d/dx*f(x)

          ロ）　 d/dx*f(x)+d/dx*g(x) 　　

 

微分の計算

公式　 y = x^n    の導関数は　 dy/dx = n*x^(n-1) 　　　　である  

この公式を利用して、微分（導関数をもとめること）します

例えば、　 y = x^3+5*x^2-3*x+7   を微分すると

　　　　　　 dy/dx = 3*x^2+10*x-3   となります

微分の計算問題

次の関数を微分しなさい

1)   y = x^8-2*x^3+x-7

2)   y = (x+2)*(2*x-3)

3)   y = x^2+a^2+b^2+3*x+4*a+5*b   につて　 d/dx*y   , d/dx*a  ,   d/dx*b  を求めよ

 

解答

1)    d/dx*y = 8*x^7-6*x^2+1

2)    d/dx*y = 2*x-1

3)    d/dx*y = 2*x+3

       d/da*y = 2*a+4

       d/db*y = 2*b+5

     

接線

（例題１：接点が分かっている場合）

二次関数　 y = x^2   上の点（１，１）　における接線の方程式を求めよ

解答　　　下図を参考にして

[Maple Plot]

接線の傾きは、微分することによ得られるから、

  dy/dx = 2*x     

接点のｚ座標はｘ＝１であるから、傾きは　２×１＝２

よって、接線の方程式は

y-1 = 2*(x-1)

 ゆえに、 y = 2*x-1

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練習問題

１）　 y = x^3-x^2   上の点（２，４）における接線を求めよ

２）　 y = -3*x^2+2*x+1   上の点で　ｘ座標が　−１　における接線を求めよ

３）　 y = x^2-5*x+3   に接線を引くと、 y = -x+7  と平行になった。この接線を求めよ　

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解答

１）　微分して　 dy/dx = 3*x^2-2*x    

      接線の傾きは、１２−４＝８

　 　よって、接線は　 y-4 = 8*(x-4)

      ゆえに、 y = 8*x-28

2)  微分して　 dy/dx = -6*x+2    

      接線の傾きは、6+2＝８

      接点のｙ座標は　ｙ＝−３−２＋１＝−４

　 　よって、接線は　 y+4 = 8*(x+1)

      ゆえに、 y = 8*x+4

３）　微分して　 dy/dx = 2*x-5    

      接線の傾きが、−１であるから

　　　 2*x-5 = -1

      よって、接点の座標は（２、−３）

　　 よって、接線は　 y+3 = -1*(x-2)

      ゆえに、 y = -x-1

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（例題２：接点が分かっていない場合）

　二次関数　 y = x^2   に、点（０、−１）から接線を引く。

　このときの、接線を求めよ

[Maple Plot]

（解答）

上のグラフを参考に考えてください。

青い直線が点（０、−１）を通る直線です。この直線と二次関数のグラフが接することが問題になっています

接点の座標を（ a   , a^2  ） とすると

接線の傾きは、　 dy/dx = 2*x  　より　　 2*a   と分かる

従って、接線は　 y-a^2 = 2*a(x-a)   となる

この直線は点（０、−１）を通るので

　　　 -1-a^2 = 2*a*(0-a)

これを解くと、 a = -1    a = 1   となる

よって、接線は

a = -1 　のとき　 y = -2*x-1

a = 1     のとき　 y = 2*x-1    である

　

練習問題

１）　点（０、−２）より、二次関数　 y = x^2  に接線を引く。

　　　このとき、接点の座標と接線を求めよ

２）　 y = x^3-3*x   に点（３，２）よ接線を引く。

　　　このとき、接点の座標と接線の方程式を求めよ

解答

１）　　接点の座標を（ a   , a^2  ） とすると

　　　接線の傾きは、　 dy/dx = 2*x  　より　　 2*a   と分かる

　　　従って、接線は　 y-a^2 = 2*a(x-a)   となる

      この直線は点（０、−2）を通るので

　　　 -2-a^2 = 2*a*(0-a)

     これを解くと、 a = -sqrt(2)    a = sqrt(2)    となる

     

     よって、接点は( -sqrt(2)  , 2 )  , ( sqrt(2)  , 2 )

               接線は   

a = -sqrt(2) 　のとき　 y = -2*sqrt(2)-2

a = sqrt(2)     のとき　 y = 2*sqrt(2)*x-2    である

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２）　接点の座標を（ a   , a^3-3*a  ） とすると

　　　接線の傾きは、　 dy/dx = 3*x^2-3  　より　　 3*a^2-3   と分かる

　　　従って、接線は　 y-(a^3-3*a) = (3*a^2-3)*(x-a)   となる

      この直線は点（3、2）を通るので

　　　 2-(a^3-3*a) = (3*a^2-3)*(3-a)

     これより、　 2*a^3-9*a^2+11 = 0

     因数分解して　 (a+1)*(2*a^2-11*a+11) = 0

     よって、a=-1, a = (11+sqrt(33))/4   , a = (11-sqrt(33))/4

　　

　

　

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グラフをかく

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グラフの応用

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