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高校数学A

整式と実数

１　整式について

ここでは、整式、ｎ次式、単項式、多項式の意味を中心に学びます。

さらに、整式に関する基本的な計算力を身につけます。

　

1－１　整式とはどんなもの

　　のように、数字と文字の積で作られた式を和の形で表現したもの

を整式といいます。

整式の例を挙げます。

　　　　　

　　

　　　　

　　　　などです。

　　　この後、もう少し詳しく整式について説明します。

１－2　１次式、２次式、３次式、・・・・・・、ｎ次式　とはどんなもの

　　Ａ×Ａ×Ａ　のことを　　と表し３次式といいます。

　　（何次式とは、文字が何個かけられているかということです。

　　　かけられている文字の個数のことを次数ということもあります。）

　　は３次式（次数は3）　、　は５次式（次数は5）といいます。

　　一般に、はｎ次式です。（次数は　ｎ）

　　もちろん、は４次式です。（次数は　４）

　　

　　では、は何次式といえば良いでしょうか。

　　文字ｘについてだけ見ると次数は３、ｙだけ見ると次数は４ですが、・・・？　　

　　

　　は、文字ｘが３個、文字ｙが４個、合計文字７個の積になっています。

　　（文字が何個かけられているかにより次数が決まります）

　　そこで、の次数は７といいます。

　　特に、文字ｘに着目すると次数は３、また、文字ｙに着目すると次数は４といいます。

　次の式の次数を答えなさい

　　1) 2) 　 3) 　　　4)

　

1－2－1　答え（左の＋マークをクリックすると、答えが表示されます）

１）　４　　２）　１２　　３）　ｍ　　　

4）　５　（ｘについては３、ｙについては２）

１－3　単項式と係数

　のように、数字と文字の積のみによって作られている式を単項式といいます。

　また、9のように文字でない部分を係数といいます。

　また、ｘに着目すると、じすうは2であり、係数は　です。

（ｘに着目するとは、『ｘだけを文字と認定し、ｘ以外の文字は全て数値とみなす』という意味です。）

　

（問題）　次の式のうち単項式はどれか。また、その次数は何か。係数は何か。

1) 　 2) 　 3) 4)

　　

答え

　１）　単項式、次数は2、係数は５　　　２）　単項式、次数は1、係数は－２　　　３）単項式でない、次数は２　

４）　単項式、次数は9、係数は７　ｘに注目すると次数は2、係数は

　 yに注目すると次数は3、係数は

　 zに注目すると次数は4、係数は　　

　

1－4　多項式と定数項

多項式とは、二つ以上の単項式を和の形で表現したものです。

そして、多項式を構成している単項式の一つ一つを項といいます。また、多項式のことを整式といいます。

しかし、ただ一つの項からできている整式（多項式）は、本来単項式ですが、

項が1個である特別な多項式であると考えることもあります。

　　　

例えば、単項式　と　単項式　　との和　　は　多項式です。

次数は、それぞれの単項式の次数を考え、一番高いものを次数とします。（次数は大きいと言わず、高いと言います）

したがって、の次数は３です。（3次式ということもあります）

また、定数項は５です。（定数項とは文字を含まない部分のことです）

　　　

次の式のうち多項式はどれか。また、その次数はいくつか

1) 2) 3) 4)

1－4－1　答え

１）　多項式・次数は２　　２）多項式・次数は６　　３）　単項式・次数は９　(aについては２）　　４）　多項式・次数は１

　

２　整式の計算

　

2－1　整式の和（差）

和（たしざん）はいつでも、計算をすることができるのでしょうか。

次のことを例として考えてください

千円札が５枚あることを　５ｓ　と表すことにし、１ドル札が２枚あることを　２ｄ　と表すことにします。

このとき、５ｓ＋２ｄ　は計算できるのでしょうか。（考えてください）

７枚のお札があるのは確かですが。

答えを、単に　７　と表現して良いのだろうか。

（千円０枚と１ドル７枚）、（千円１枚と１ドル6枚）、などいろんな７枚が考えらます。

千円札と１ドル札は種類（価値）が違うので単純に計算をすることはできません。

だから、５ｓ＋２ｄ　は計算できないものとします。

さて今度は、　

千円札５枚　５ｓ　と　　千円札２枚　２ｓ　があります。

このとき、５ｓ＋２ｓ　は計算できるでしょうか

合わせて、７枚の千円札がありますから、答えは　７ｓ　であります。

即ち、５ｓ＋２ｓ＝７ｓ　が成り立ちます。

たしざんは、計算ができる場合と、計算できない場合があるのです。

たしざんができるのは、２つの単項式を比べたとき文字の部分が全く同じ場合に限られます。

（このことを、同類項といいます。）

次の計算をし、答えを求めてください。

１）　２ｇ＋３ｇ　　　　２）　５ｇ－２ｇ　　　　３）　－ｑ＋４ｑ　　

４）　2ab＋５ab　　　５）　xyz＋３xyz－５xyz　　　　６）　2a-b

２－１－１　答えは、＋をクリックしてください。

順に　５ｇ　　３ｇ　　　３ｑ　　７ab　　－ｘｙｚ　　計算できない　　となります

　

　

　

　さて、今度は　　２ｘ＋ｙ＋５ｘ－４ｙ　　の計算を考えてみよう。

　2つの単項式の文字の部分が同じであれば（同類項であれば）、計算できますから、

　２ｘと＋５ｘ　は計算でき、

　＋ｙと－４ｙ　も計算できます。

　そこで、次のように計算できます。

　２ｘ＋ｙ＋５ｘ－４ｙ＝（２ｘ＋５ｘ）＋（＋ｙ－４ｙ）　と考えて（交換の法則が成り立ちます）

　　　　　　　　　　　　＝(2+5)ｘ+(1-4)ｙ　　　　　　　　を得ることができます。（結合の法則が成り立ちます）

　　　＝７ｘ－３ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

　次の、計算をしなさい

　1) 3x+5x -y+3y 2) 5x+2y-3x-3y 3) x+y+3+2x-3y-5

　

2－1－2　答え

1) 8x+2y 2) 2x-y 3) 3x-2y-2

　

２－１－３　同類項でなくても、計算ができる場合もあります。

　５cm　＋　１ｍ　を考えてみましょう。

　これは、同類項ではないので計算できません。

　しかし、１ｍは１００cmのことであることを知っている人は、

　次のように計算できます。

　５cm　＋　１ｍ　＝　５cm　＋　１００cm　　　と考えられので

　　　　　　　　　　＝　１０５cm　　　　　　　　　と計算できます。　

　　　　　　（もちろん、1.05m　と答えても良い）

　

　２－１－３－１　計算可能なものは計算しましょう。　

1) 2Km+350m

2) 12M+1250K

3) 3G+50M

4)

5) ４３町＋2里３町

>

２－１－３－１－１　答え

1) 2350m(2.35Km) 2) 13250K(13.25M) 3) 3050M(3.05M)

4) 112340 (1.12340 ) ５）　１１８町（3里9町）　　（１里＝36町）

　1ギガ（１G)=1000メガ（１０００M)

　1メガ（１M)＝1000キロ（１０００K)

　1キロ（１K)＝１０００　

2－2　整式の積（展開）

３ｘという式の意味は、本来どんなことであろうか。

君は、友達に説明できるか？

３ｘ　とは　ｘ＋ｘ＋ｘ　という意味であり　3個のｘの和のことである。（３×ｘ　　という意味もある）

また、ｙ＋ｙ＋ｙ＋ｙ＋ｙ　　のことを　５ｙ　と表現する。（５×ｙ　　という意味もある）

では、２（ｘ＋ｙ）　の意味は何だろう。

これは　ｘ＋ｙ　を2個加えたものであるから

2（x＋ｙ）＝（ｘ＋ｙ）＋（ｘ＋ｙ）

　　　　　＝ｘ＋ｘ＋ｙ＋ｙ

　　　　　＝２ｘ＋２ｙ

と計算できる。このように計算することを展開するという。

この例からわかるように、

３（ｘ＋ｙ）　を展開すると　３ｘ＋３ｙ　となる。

即ち

３（ｘ＋ｙ）＝３ｘ＋３ｙ

である。

次の式を展開しなさい。

１）　　５（ｘ＋ｙ）　　　　　２）　　７（ｘ＋ｙ＋ｚ）　　　３）　３（２ｘ－３ｙ）

　

答え

1) 5x+5y 2) 7x+7y+7z 3) 6x-9y

では、　ｍ（ｘ＋ｙ）　　を展開すると、どうなるか考えてみよう。

ｍ（ｘ＋ｙ）＝（ｘ＋ｙ）＋（ｘ＋ｙ）＋・・・・・・＋（ｘ＋ｙ）　　　　　　　　　全部でｍ個の（ｘ＋ｙ）

　　　　　　＝（ｘ＋ｘ＋・・・・・・＋ｘ）＋（ｙ＋ｙ・・・・・・＋ｙ）　　　　　　ｍ個のｘ　　と　　ｍ個のｙ

　　　　　　＝ｍｘ＋ｍｙ

即ち

　ｍ（ｘ＋ｙ）＝ｍｘ＋ｍｙ　　　　・・・①

　

　

次に、（ａ＋ｂ）（ｘ＋ｙ）　の展開を考えてみよう。

（ａ＋ｂ）（ｘ＋ｙ）

Ａ＝（ａ＋ｂ）とおくと

＝Ａ（ｘ＋ｙ） ①より

＝Ａｘ＋ＡｙＡを　ａ＋ｂ　におきかえて

＝（ａ＋ｂ）ｘ＋（ａ＋ｂ）ｙ　　①より

＝ａｘ＋ｂｘ＋ａｙ＋ｂｙ

以上のように展開できる。

例題　　（２ｘ＋ｙ）（ｘ－３ｙ）　を展開しなさい。

（解答）

　　　　　　

=

= 　　　指数の約束より

= 　　　　　　　　　同類項の和より

=

問題　　次の式を展開しなさい

1) a(a-2b) 2) (a+b)(2a-3b) 3) (a+b)(a-b) 4)

　

答え

　

1) 2) 3) 4)

2－1－1　整式に関する計算問題

次の計算（展開）をしなさい

　

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

答え

1) 2) 3)

4)

5)

6)

7)

　

2－3　知っておくと便利な展開の公式

2-3-1 公式１

証明

　左辺＝

＝

＝右辺

以上、証明終わり　

2-3-2 公式2　

証明

各自試みてください。「左辺＝」と計算（展開）し、右辺になることを示します。

例題) 　を展開しなさい。

解)　　

=

練習問題

1)

2)

3)

4)

　

答え

１）　 2)

3) ${a+b-2*c}*{a+b+2*c} = (a+b)^2-(2*c)^2$ =

4) ${x^2+x+3}*{x^2-(x+3)} = (x^2)^2-(x+3)^2$ = =

2-3-3 公式３　

証明

各自試みてください。「左辺＝」と計算（展開）し、右辺になることを示します

>

2-3-4 公式４

証明

各自試みてください。「左辺＝」と計算（展開）し、右辺になることを示します

2-3-5 公式５

証明

各自試みてください。「左辺＝」と計算（展開）し、右辺になることを示します

>

>

2-3-6 展開の公式は幾つでも作ることができます。

各自公式を作ってみましょう

　

公式の例　　（面倒なので、Mapleに計算させました）

> (a+b)^1=(a+b)^1;

> (a+b)^2=expand((a+b)^2);

> (a+b)^3=expand((a+b)^3);

> (a+b)^4=expand((a+b)^4);

> (a+b)^5=expand((a+b)^5);

> (a+b)^6=expand((a+b)^6);

> (a+b)^7=expand((a+b)^7);

>

> (a+b)^8=expand((a+b)^8);

> (a+b)^50=sort(expand((a+b)^50),a);

など無数にあります。

注意してみると、何か決まり（法則性）がありそうです。

　

だから、公式　が作れそうです。　

>

>

2－3－7　正確に早く答えを出せるよう計算を工夫をしよう

　

（例題）　　を展開しなさい。

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と考えると　公式が使える。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝

＝

>

>

2－4 整式の因数分解

　

「整式を1次式以上の整式の積の形に表すこと」が整式の因数分解である。

　

例えば、　において

左辺から右辺へ計算することを展開といい

右辺から左辺へ式を変形することを因数分解という

従って、を　　と表すことは因数分解である。

もちろん、と表すことも因数分解である。

ふつう、それ以上因数分解できない形まで因数分解しておきます。

　

展開の計算では特段公式を知っておく必要はないが、因数分解はいくつか公式を知っておいたほうが良い。

そこで、基本的な公式を学習しよう。

公式１　　　ｍｘ＋ｍｙ＝ｍ（ｘ＋ｙ）　　　共通因数でくくる

この公式の証明

右辺＝ｍ（ｘ＋ｙ）

　　＝ｍｘ＋ｍｙ

　　　＝左辺

（証明終わり）　

　　

例題　　ｓｘ＋ｓｙ＋ｓｚ　　　を因数分解しなさい。

（考え方：　式をよく見る）　　・・・・＝＞　　（ｓ　が、どの項にも共通にある。共通因数がある。）

解答

　　　　ｓｘ＋ｓｙ＋ｓｚ＝ｓ（ｘ＋ｙ＋ｚ）　　　　（ｓでくくる）という。

　

この公式の上手な使い方は、問題の式をよく見ることによって、全ての項に共通な因数を見つけることです

>

　練習問題

　

次の式を因数分解しなさい

1)

2)

3)

4)

5)

　

>

答え

1) 2) 3) 4) 5)

公式２　　　　

この公式の証明　　各自試みてください（右辺を計算し、左辺を導く）

　　

例題　　　を因数分解しなさい　

解答　　　

= 「2乗　マイナス　2乗」　と考えるところが重要

=

　

では、この公式の使い方を練習しましょう

注意することは、（何の2乗になっているかを、見抜くことです）

　

　練習問題

　

1)

2)

3)

4)

5)

解答

1) 2) 3)

4) 5)

公式３　　　たすきがけ　　　（またの名を　十字法）

　　　　　　　　この公式は、２次３項式　の形に対して有効な方法です。

　

　具体例で説明します。

　を因数分解しなさいという問題を考えてみましょう

たすきがけの方法　　一番目　　　「2次の項、１次の項、定数項」の3ブロックに分離されているかを確認する

　　　　　　　　　　　　　　（そうなっていない場合は、この形に変形する）

　　　　　　　　　　　　　二番目　　　２次の項の係数を、（何　かける　何）かと考える。要するに、係数を因数分解する

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この問題の場合は　　１　→　１×１

　　　　　　　　　　　　　三番目　　　定数項を、（何　かける　何）かと考える。要するに、定数項を因数分解する

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この問題の場合は６　→　２×３

　　　　　　　　　　　　　四番目　　　次の図のように、「たすきがけ」　をする

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　　　２　　＝　　２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　×

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　　　３　　＝　　３

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５　　（２　と　３　の合計）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「たすき」の形にかけて答えを出す。答えは　１×２＝２　と　１×３＝３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　その答えの和を考える。即ち、２＋３＝５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この和　５　と　一次の項を比較する。これが、一致すれば因数分解は完成である。

　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　五番目　　　　このたすきがけの図を横方向にを見ながら、答えをかく。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即ち、　一行目　の　１　　　２　　を見て　　（ｘ＋２）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二行目　の　１　　　３　　をみて　 (ｘ＋３）

　　　　　　　　　　　　　六番目　　　　最終的に次のように答を得る

　　　　　　　　　　　　　　

以上です

では、練習をして見ましょう。必ず四番目の「たすきがけ」の図をかくこと

　

練習問題

　次の式を因数分解しなさい　　　　　　

　

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

答え

　

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) =

>

>

公式４　　　 ３乗の塊（かたまり）が二個

この公式の証明　　（各自試みてください・展開の復習です。右辺＝・・・＝左辺としましょう。）

この公式の覚え方（使い方）　各式の右側にコメントします

　　　　　　 = (x+y)(.........) 　　　指数の３を無視します。

　　　　　　　　　　　= (x+y)( .....) 　（ｘ＋ｙ）をみて　「前」の２乗とします

　　　　　　　　　　　= (x+y)( ....) （ｘ＋ｙ）をみて　「（前）かける（後ろ）の符号を反対」

　　　　　　　　　　　= (x+y)( ) （ｘ＋ｙ）をみて　「後ろ」の２乗とする　

以上で、できあがり。

この公式は、右にある日本語を覚えておくと便利です。

　　　　　

　

練習問題

　

次の式を因数分解をしなさい

1) 2) 3)

　

　

答え

1)

2)

3)

複雑な因数分解

　

文字が沢山（3個以上）出てくる場合、一つの文字に注目して考えると良い。

沢山の文字がの中で、どの文字に注目するかは大切である。

次数の一番小さい文字に注目するのが良い。

（公式１～４は、2個の文字が登場することを原則としている。）

　

（例題）

　　　　　　　　　　文字Ｃに注目して

= 　　　　(a-b)に注目して

= 　　　　　　共通因数　(ab-1)　に注目して

=

>

　練習問題

　

1) （福岡大学）

2) 　　　　　（札幌大学）

3) 　　　　　　　　　　　　　　　　（名古屋学院大学）

　

答え

1) 与式　　　　　　　　　　　　最低次数のｚで整理して

　　　　　＝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　後半を共通因数ｘでくくって　　　

= 　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　共通因数でくくって

= 　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　「たすきがけ」をして

= 　　

２）与式　　　　　　　　　　　　最低次数のａで整理して（展開をして）

　　　=

各項を因数分解して

=

　　　　　　　　　　　　　　　　　共通因数（ｘ＋１）でくくって

=

　　　　　　　　　　　　　　　　　後半をａについて整理して

= $-(x+1)*{a^2+3*a-(x^2-x-2)}$

　　　　　　　　　　　　　　　　　後半を「たすきがけ」できるよう準備して

= $-(x+1)*{a^2+3*a-(x-2)*(x+1)}$

1 -(x-2) ---->-x+2

×

1 (x+1) ----> x+1

3

　

　　　　　　　　　　よって、答えは次のようになる

=-(x+1)(a-x+2)(a+x+1)

=(x+1)(x-a-2)(x+a+1)

３）与式　　　　　　　　　　　　最低次数のＣについて整理して

　　　　＝　

=

　 =

　 =

３　実数

3－1　数の分類

数は、その立場によっていろいろな分類があります。

例えば、正の数・負の数、偶数・奇数、小数・分数などです。

ここでは、数の分類について考えてみましょう。

１、２、３，３，４，５、　・・・・・・　　を自然数といいます。

・・・、－３、－２、－１，０、１，２，３、・・・を整数といいます。

ｐ、ｑ　が整数であるとき、と表現できる数を　有理数という。（ )

　　例えば、 ,0.123123・・・・・・　などは有理数である。

　　有理数を小数で表現すると、

　　　　　　　　 = 0.5 , = 0.25 , = 0.125 などのように有限で終るか

　　　　　　　　無限に続く場合でも

　　　　　　　　　　　　　　　 = 0.33333333・・・・・・・・・・・

　　　　　　　　　　　　　　　 = 0.142857142857・・・・・・・・・

　　　　　　　　のように、同じ数値の繰り返しになる。

有理数でない数を無理数という。

無理数は、整数　ｐ、ｑ　を使って、と表すことができない数である。

　　　例えば、 , , π、などが無理数である。

　　　無理数を小数で表現すると、

　　　　　　　　　　　　　 = ・・・・・・

　　　のように無限に続くことが分かっている。そして、有理数のように同じ数字の並びを繰返すことがない。

全ての数（実数）は、有理数と無理数に分けることができる。

　　高校二年生程度になると、実数以外の数（虚数・複素数）を学習することになります。　

3－2　実数をもっと詳しく学習しましょう。

　　

２×２、や　３×３　のように同じ数同士の積を考えてみよう。

ａ×ａ＝１６　　をみたす　ａ　の値はいくつか　考えてみよう。　　

（　という方程式を解く）（面積が16である正方形の一辺を求める）ことと同じです。

　答えは　　ａ＝４　　と　ａ＝－４　　　です。

では、次の　ａ　の値を求めてみよう。

1) ａ×ａ＝２５

２）　ａ×ａ＝４９

３）　ａ×ａ＝６４

簡単な問題です。答えは、５、－５　　　７、－７　　　８、－８　です。

では、もっと易しい問題（？）を考えよう。

　ａ×ａ＝２　を満たすａです。　（上記 =２５、４９，６４　に比べれば　２　になる場合ですから、簡単なはずです）

さあ、　ａ　の値を求めましょう。（正の値のみ考えます）

ａ＝１　では、となり小さすぎます。

ａ＝２　では、　となり大きすぎます。

ａ＝1.5　では　となり大きすぎます

ａ＝1.4　では　となり小さすぎる。

ａ＝1.45　では　となり大きすぎる

ａ＝1.41　では　小さすぎる

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

という具合に考えて　　

　ａ= ・・・・

を得ることができる。

これは無限に続く数で繰り返しがない数であることが分かっています。

この　ａ　のことを　と表現することにします。

即ち、　 ×　＝　２　　です。

このようにして、をみたす正の数　ａ　を求めると　

ａ＝・・・

となる。この長ったらしい無限に続く数を

　と表現します。

一般に、（０≦Ｎ）をみたす　ａ　を

またはと表現します。

（Ｎは正の数、または、０としておきます。Ｎが負の場合は、ここでは考えません。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｎが負の場合は虚数や複素数で学習します。）

　　　

　記号　　√　　　のことを根号（ルート）　　と読みます。

　また、のことを　「ルート２」　と読みます。

3－3　根号を含む計算

　ある数を二乗したら　Ｎ　になる正の数のことを　と表現することにしました。

　だから、　は　二乗したら　９　になる正の数ことです。

　よって　　となります。

　

3－3－1　問題　　

　

次の計算をしなさい

　1) 2) 3) 4) 5)

　

答え

1) 2 2) 5 3) 10 4) ５）

3－3－2　 とはどんなこと

（説明）

のことを　（が3個あるから）と表現します。

3－3－3　問題　　　

　　

次の計算をしなさい

　

1)

2)

3)

>

答え

1) 2) 3)

3－3－4 　　ここで、「正の数Ａ　を平方（二乗）したら　１２　になった。

　　　　　　　このとき、Ａはどんな数か。」という問題を考えてみよ う

　

　

ルートを使ってＡを表すと、であるが。

問題文をそのまま式にすると

をみたす正の数Ａ　を求めなさいということである。

ここで、Ａ＝ｍ×ｎ　　と二つの正の数に分解できたとしよう。　

すると、であるから

となる

×３　　であるから

と考えられる

よって、ｍ＞０　　だからｍ＝２　

　　　　　ｎ＞０　　だからである

ゆえに、Ａ＝ｍ×ｎ＝である。

即ち　　である。

　

上のことを、普通、次のように考えて計算する。

= =

（例題）　　を簡単にしなさい

（解）　　　　 =

>

>

3－3－5　問題

　

次の式を簡単にしなさい

　

1) 2) 3) 4)

　答え

　

1)

2)

3)

4)

　

3－4　有理化の計算と有理化の意味

3－4－1　有理化の意味

小学校のとき分数を学習しました。　例えば、　という数を、分数を習いたての人が見ると、はどんな数か良く分からない。そこで、と考え、これを２と表現することにより、この数は、2より大きい数であるが3より小さい数と考えることにより、初心者はの意味を理解し易くなる。

　

同じようなことが、　、などでも発生します。

例えば、はどんな数か聞かれたら、どう答えたらよいでしょう？

　 = ・・・

であるから

　　と考え　1÷1.414213562 を計算し　

　０．７０７・・・　と答えればよい。

しかし、この割り算は大変である。

もっと、詳しい値が欲しいと要求されると、割り算が大変になる。

そこで、少し工夫して、次のように計算する。

　（分母・分子に　をかけてみる）

すると

= を得る。これなら、極めて簡単に、　0.7071067・・・を得ることができます。

このように、分母にある無理数を、有理数に変えると、がどれくらいの数か簡単にわかる。

このように、分母の無理数を有理数にすることを有理化といいます。

例題　次の式を有理化しなさい（簡単にしなさい）

1) 2)

参考　　 =　・・・・・・

解

1) =

2) = =

根号［ルート］をとるには、根号の二乗を作ればよい。

　　そこで、を利用する。右辺は二乗だけの式になっていることに注意

　有理化とは、分母から根号を無くすことです。根号は平方すれば取れます。（注意すべきこともありますが）

　　　

　　

3－4－2　問題

次の式を、簡単にしなさい。

　

1) 2) 3) 4) 5)

答え

1) 2) 3) 4) 5)

3－5　　二重根号　 の計算

　

　　　　を展開してみよう

=

　よって

　　　　となる

　両辺の平方根を考えて

　 =

　即ち

　を得る。（ｂ＜ａ　とする）

　　

　　a=3,b=2 と考えて、上の式を利用すると

　となる。

問題

次の二重根号をはずしなさい。

1) 2) 3) 4)

　

>

答え

1) 2) 3) 4)

>