指数
１指数とはどんなもの
例えば、 a+a+a は ａ という３個の数の和を意味していました。
そして、このことを 3×ａ と表現しました。
しかし、文字の前後の×は省略するという約束があるので、3ａ と表記します。
Ａ＋Ａ＋Ａ＋Ａ＋Ａ＋Ａ のことを ６Ａ と表記します。
この表記法は、大変便利が良いのです。次の例を見てください。
Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＋Ｂ ・・・①
上の①は21個のＢの和です。しかし、実際は「１，２，３，４、・・・ ２１」と数えて 21個と分かるのです。
これを最初から ２１Ｂ と表記すれば、わざわざ「Ｂが何個あるか？」数えなくても良いのです。
やや極端にして、１２３４５６Ｃ を考えてください。
Ｃ＋Ｃ＋Ｃ＋・・・ などとCを123456個、『＋』を123455個使って表現したら大変です。
本来、24万6911個の文字を使用しなければならないことを、僅か7文字で１２３４５６Ｃと表現できるのです。
簡単にできることは、できるだけ簡単にしたほうが良いですね。
同じように
Ａ×Ａ×Ａ のこと を
と表します。
Aの肩に乗っている ３ のことを指数といい、Ａ を底といいます。
Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ×Ｂ
は指数を使うと、簡単に
と表現できます。
したがって、
= ２×２×２ ＝ ８ です。
= ３×３ ＝ ９ です。
＝
インターネット ＩＰｖ４ のアドレス数は
＝
ＩＰｖ６ のアドレスは次の数になります
＝
＝
指数を利用すると、大きな数を
のように簡単に表すことができます。
光の速さは 約 3×
cm/s ですが、指数を使うと何桁の数であるかすぐ分かります。
また、後で説明しますが、貯金やローンにおける利子の計算などの役に立ち、社会生活をする上で
大切な知識となります。
２指数の公式を作ろう
公式は知らなくても特段困ることはありませんが、知っておくと計算が早くなります。
（公式 １）
（証明）
= （a×a×a×a× ・ ・ ・ ×a）×（a×a×a×a× ・ ・ ・ ×a）
ｍ個の ａ ｎ個の ａ
＝
使用例
1)
2)
練習問題
次の式を
の形で表しなさい。
1)
2)
3)
×
4) ４×
5) ９×２７
答え
1)
2)
3)
4)
5)
（公式 ２）
(証明）
=
×
×
×・・・ ×
n個の
＝
使用例
1)
=
2)
=
3)
=
（公式 ３）
（証明）
=
n個の（ａｂ）の積になっている。 ａ を前方へ、ｂを後方へ集めると
＝ａａａａａａａ・・・ａａｂｂｂｂｂｂ・・・ｂｂｂ
ｎ個のａ と ｎ個のｂ の積になっている
＝
使用例
=
=
（公式 ４）
÷
=
証明は各自試みてください
これは、とても大切な公式です。
これを基にして、
や
などの説明をすることができます。
使用例
÷
=
÷
=
とは何のこと
（公式４）
÷
=
を利用して （ｍ＝ｎ の場合を考えます）
÷
=
=
一方
÷
=
= 1
よって
使用例
次の値を求めなさい
1)
2)
3)
答え
1) 1 2) 1 3)
とはどんなこと
公式４
÷
=
を利用して
÷
=
一方
÷
=
=
よって
一般に
が成り立つ
使用例 次の値を求めなさい
1)
2)
3)
4)
答
1)
2)
3) -
4) 49
| > |
| > |
とはどんなこと
であるとき ｘ＝２ または ｘ＝－２ である。
ところが、いつも ｘ が都合よく（有理数の範囲）求められるとは限らない。
例えば、
を満たす ａ の値を求めてみよう。（ｘ＞０ とする）
この ａ のことを
と表現したのである。
ここで、
と表現できるとすると、ｘ はどんな値であろうか。
（
である。即ち、
であるから）
よって
したがって
=
である。
一般に
=
である。 （ただし、
とする。）
ａ＜０ の場合は、どうなるか考えよう。（ヒント：虚数、複素数）
使用例
=
=
=
=
=
= 4
３練習問題 （計算）
| > |
答
| > |
| > |
| > |
| > |
| > |
４方程式
次の方程式を解きなさい
| > |
略解
| > |
| > |
| > |
| > |
やや複雑な指数方程式
| > |
| > |
５社会生活上重要なお金の計算：自己破産しないために
ここだけはマスターしよう 。
指数の計算をマスターすると、次のようなお金に絡むことを自分で簡単に計算できます。
利子の高い消費者金融などから借金をして自己破産する者が、急激に増加しています。
自己破産者の人数は下記の通りです。官報に掲載されない実質的な破産者は含みません）
1998年 10.3万人
1999年 12.2万人
2000年 13.9万人
昨年は 16万人、
今年は、昨年の40％以上も増加しています。
大きな社会問題となっています。
自己破産すれば、官報にも自分の名前が掲載されます。
間違っても、連帯保証人などにはならないようにしましょう。
私達が、消費者金融から安易に借金をすると返済の為に
人生を台無しにしてしまう可能性があります。
ここでは、利子のことを学習し社会生活で困らないようにしましょう
利子とはどんなもの
企業などが活動するには必ずお金（資金）が必要になります。
その資金で工場を建てたり、従業員の給料を支払ったり、商品を仕入れたりすることにより、
利益を得ることができます。
この資金を他人から借り入れると、当然ながら借りた金額を返さなければなりません。
そのとき、利子を付け加えて返すことになっています。（お金を借りたお礼です）
この利子は、借りた金額（元金という）に対して一定の割合(利率）で返す金額のことです。
例えば、1000円を利率５％で1年間借りると、利子は
1000× = 50 （円） となります。
そこで、（返す金額）＝元金＋利子
＝1000円＋50円
＝1050円
を返せばよいのです。
一般的に、元金Ａ円を年利ｒでｎ年間借りた場合の、返却額を求めてみよう。
① 1年後の元利合計は
=
② 2年後の元利合計は
③ 3年後の元利合計は
途中を省略して
ｎ年後の元利合計は
となる
（例題） 50万円をローン会社から年利３０％で10年間お金を借りました。
10年後、元利合計いくら支払えば良いでしょうか。
（略解）
ｎ年後元利合計は、
で与えられるから
= 50×
Ｍａｐｌｅを利用して計算をすると
689.2924590 万円となる
689万2924円ほど支払えば良いことになる。
50万円をかりてローン会社へ10年後700万円も返すことになります。
しっかり、指数の勉強をして、社会へ巣立ちましょう。
利子の計算
国民年金が社会問題になっていますが、次のようにすれば老後はばら色です。
二十歳になったら、毎日300円（タバコ一箱の金額）を、ローン会社に運用してもらいます。
ローン会社は出資法の上限金利２９．２％でお金を貸付ます。
これを65歳から受けとることにします。
すると、65歳から毎日、３０４７４３４円４２銭５厘の収入があります。
国民年金は、死亡すれば支給は0円になりますが、この方法だと
45年間毎日約300万円の収入が得られます。
まとめると、月額9000円の掛け金で、年金として毎月9千万円、さらに、期間は45年間確定です。
国の年金は、月額13300円の掛け金で、月額7万円以下、さらに64歳11ヶ月で死亡すれば、
受け取り金額は0円となり、掛け金（１３３００×１２×４５）円は行方不明となってしまいます。
余りにも酷すぎます。
答
| > | 10*1.3^40; |
36億1188万６４８１円 返してもらえることになります。
| > |
| > | 300*1.292^45; |
| > |
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６指数関数のグラフ：その増加のすごさを知ろう
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| > | plot([2^x,x^2],x=-1..10); |
![[Maple Plot]](images/shisu133.gif)
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一般に、指数関数
のグラフは
| > | plot([2^x,0.5^x],x=-3..3); |
![[Maple Plot]](images/shisu135.gif)
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指数関数のグラフをかいてみよう
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不等式を解きなさい
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指数関数を利用した悪徳商法（ﾏﾙﾁ商法・ネットワーク商法・ねずみ講）
（このような商法は法律で厳しく罰されます。当然ですが）
ﾏﾙﾁ商法・ネットワーク商法とはどんなもの
たとえば、
「３０万円出して、会員になりませんか？」 ＝ （商品を買いませんか）
「会員になったら、二人の会員を作って下さい」＝（商品を売ってください）
「これだけで、７６８０万円の収入があります」＝（これだけで、月収２、３百万円です）
こんな具合です。
このことを、言葉巧みに説明し、お金を巻き上げる詐欺商法です。
時には、無料で飛行機などでご招待・説明会もあります。（このこと自体が、おかしいのですが）
結局、だまされてしまう無知な人が多いのです（数学と経済を勉強しなかった人）
だまされた人が多くなり社会問題になったところで、警察やマスコミが動きますが、問題になる頃には
その会社は雲隠れや意識的な自己破産をするか、社会的に抹殺され消えてなくなります。
この時点で、自分の出資したお金を返してといっても後の祭りです。
結局だまされる人が馬鹿なのです。
この会員(社員）になった者は、経済的な損失を被り、さらには長いこと築いてきた友人関係や親戚関係を壊し信用を失ってしまいます。
中には、質屋通いをし大切な自分の財産を失い、挙句の果てローン会社からお金を借り、サラ金地獄に陥り再起不能の状況に追いこまれる人もたくさんいます。
論理的に、ﾏﾙﾁ商法やネット商法は成り立たないのです
皆さんは指数を勉強しているので、このよな被害者にはならないと思いますが。
「論理的に、ﾏﾙﾁ商法やネット商法は成り立たないのです」の理由・証明
ねずみ講の基本的なシステム
① 第1代の１人が、その子（第２代）を２名作ります。
② 第２代の２人が、それぞれの子（第３代）を作ります。
③ 第３代の４人が、それぞれの子（第４代）を作ります。
④ 第４代の８人が、それぞれの子（第５代）を作ります。
このように、次々に子を作っていきます。
第ｎ代には、
人の子が存在することになります。
そこで、第９代の全員が８代前の第１代に会費（商品代）を送ると約束します。
第２代の会員は第１０代の会員から、お金を送ってもらうことになります。
第３代の会員は第１１代の会員から、お金を送ってもらうことになります。
第４代の会員は第１２代の会員から、お金を送ってもらうことになります。
この繰り返しで、無限に続いていきます。（無限連鎖講とも言います）
会費が３０万円であると、３０×
万円の収入が予定されることになります。
しかし、このお金をもらうのはほとんど不可能に近いのです。
なぜ、もらえないかその理由を考えてみて下さい。
どの程度の人口が必要なのか
私が、もしこのようなマルチ商法を主催するならば、次のようにします。
まず、各都道府県ごとに総代理店を置き、全て私自身が第１代になります。
当然、第２代も私です。第３代に自分の家族、第４代に親戚、第５代に知人友人、
そして、その後に一般の人を会員として認めます。
一般の会員で一番早くお金を得ることの出来る人は、第６代の人です。
この第６代の会員が予定のお金を得るのは、８代後ろの第１４代の会員からです。
この第１４代会員の人数は、４７×
人、即ち、38万5024人必要になります。
もしあなたが、ある県での１０番目（第１０代・私から数えると第１５代）の会員であるとしましょう。
あなたが、予定の収入を得るには、第２３代の会員が揃わなくてはなりません。
第２３代の人数は、４７×
人です。これは、１億９７１３万２２８８人です。
日本人（１億２０００万人）が全て会員なったとしても足りません。
もっとも、日本では毎年、約１１８万人の赤ちゃんが生まれています。５０年ほど待てば
不足の８千万人ほどの人口が日本で供給されることにはなりますが。
、
加入して100年以内に、お金をもらうことは不可能である
あなたが、この会に入会し５０年後無事お金を手に入れたとしましょう。
ところが、あなたにお金を送金した、あなたから数えて８代後ろの第２３代の会員はどでしょう。
この全員が予定のお金を手に入れるのに必要な会員数は、８代後ろの、第３１代の会員数です。
この第３１代の人数は、4７×
人＝５０４億６５８６万５７２８人になります。
現在の地球上の人口は約６３億人です。毎年約１億人増加しています。
したがって、約 （５０４億－６３億）÷１億＝４４１年
４００年ほど待ってもらうと、予定のお金を手に入れることが出来ます。
ここで、「儲かった人は、何回もこの会に入会するので、このような人不足は起きない」と主催者は
申し開きをします。
もしかしたらこの頃、宇宙人の住む星が見つかり、宇宙人がこのねずみ講に入ってくれるかも知れませんね。
しかし、もし本当に儲かるシステムなら、全て自分が入会すれば良いのです。
すると、全ての会員が自分ならば自分の会費が自分へ行くわけですから、儲けはゼロ円です。
経済学で言う利益がないと、世の中は動かないのです。
その利益がないのに、儲かるというのは単なる詐欺です。
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